a) Trong ∆ACD có EA = ED, KA = KC (gt)

nên EK là đường trung bình của ∆ACD

Do đó EK =

Tương tự KF là đường trung bình của ∆ABC.

Nên KF =

b) Ta có EF ≤ EK + KF (bất đẳng thức trong ∆EFK)

Nên EF ≤ EK + KF = + = (

Vậy EF ≤ (AB+CD)/2

27. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.

a) So sánh các độ dài EK và CD, KF và AB.

b) Chứng minh rằng EF \(\le\dfrac{AB+CD}{2}\)

Bài giải:

a) Trong ∆ACD có EA = ED, KA = KC (gt)

nên EK là đường trung bình của ∆ACD

Do đó EK =\(\dfrac{CD}{2}\)

Tương tự KF là đường trung bình của ∆ABC.

Nên KF = \(\dfrac{AB}{2}\)

b) Ta có EF ≤ EK + KF (bất đẳng thức trong ∆EFK)

Nên EF ≤ EK + KF = \(\dfrac{CD}{2}\) + \(\dfrac{AB}{2}\) = \(\dfrac{\left(AB+CD\right)}{2}\)

Vậy EF ≤ \(\dfrac{\left(AB+CD\right)}{2}\)

a) + ΔADC có: AE = ED (gt) và AK = KC (gt)

⇒ EK là đường trung bình của ΔADC

⇒ EK = CD/2

+ ΔABC có AK = KC (gt) và BF = FC (gt)

⇒ KF là đường trung bình của ΔABC

⇒ KF = AB/2.

b) Ta có: EF ≤ EK + KF = 

(Bổ sung:  ⇔ EF = EK + KF ⇔ E, F, K thẳng hàng ⇔ AB // CD)

a: Xét ΔADC có 

E là trung điểm của AD

K là trung điểm của AC
DO đó: EK là đường trung bình

=>EK//CD và EK=CD/2

b: Xét ΔCAB có

Flà trung điểm của CB

K là trung điểm của CA
Do đó FK là đường trung bình

=>FK//AB và FK=AB/2

EF<=EK+KF

nên EF<=1/2(AB+CD)

c:Khi EF=1/2(AB+CD) thì EF=EK+KF

=>E,K,F thẳng hàng

=>AB//CD

hay ABCD là hình thang

a) +)EK là đường trung bình nên EK = 1/2 . CD do đó EK < CD

+) EF và AB thì đang suy nghĩ

b) Ta có: \(EK=\frac{1}{2}CD=\frac{CD}{2}\)(t/c đường trung bình)

Tương tự, ta có \(KF=\frac{1}{2}AB\)

Cộng theo vế hai đẳng thức trên ta được:

\(\frac{AB+CD}{2}=EK+KF\ge EF\) ( theo quy tắc 3 điểm)

Đẳng thức xảy ra khi K thuộc EF, khi đó \(\hept{\begin{cases}EK\text{// }CD\\KF\text{//}AB\end{cases}}\) và K thuộc EF nên suy ra  \(\hept{\begin{cases}EF\text{//}CD\\EF\text{//}AB\end{cases}}\Leftrightarrow AB\text{//}CD\)

P/s: Chỗ "đẳng thức xảy ra..." mình không chắc.

Ta có hình vẽ:

a) Xét \(\Delta ADC\) có:

AE = ED (gt)

AI = IC (gt)

=> EI là đường trung bình

=> EI // DC

Xét \(\Delta CAB\) có:

AI = IC (gt)

BF = FC (gt)

=> IF là đường trung bình

=> IF // AB

b) Ta có: EF \(\le\) EI + IF

mà IF + EF = \(\dfrac{1}{2}\) AB + \(\dfrac{1}{2}\) CD

= \(\dfrac{1}{2}\) (AB + CD)

=> EF \(\le\) \(\dfrac{\left(AB+CD\right)}{2}\) (đpcm)

a) Xét tam giác ADC có:

E là trung điểm AD

K là trung điểm AC

=> EK là đường trung bình 

\(\Rightarrow EK=\dfrac{1}{2}CD\)

Xét tam giác ABC có:

F là trung điểm BC(gt)

K là trung điểm AC(gt)

=> KF là đường trung bình

\(\Rightarrow KF=\dfrac{1}{2}AB\)

Sửa đề: \(CM:EF\le\dfrac{AB+CD}{2}\)

Ta có: \(EF\le EK+KF=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{AB+CD}{2}\)

c: Ta có: \(EF\le KE+KF\)

\(\Leftrightarrow EF\le\dfrac{DC+AB}{2}\)

Dấu '='xảy ra khi E,K,F thẳng hàng

hay EF//AB//DC

Suy ra: ABCD là hình thang

Bài 5:

Xét ΔABC có

D là trung điểm của AB

DE//BC

Do đó: E là trung điểm của AC

Bài 4:

2: Xét hình thang ABCD có

E,F lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>EF là đường trung bình của hình thang ABCD

=>EF//AB//CD và \(EF=\dfrac{AB+CD}{2}\)